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关于幂级数求和的探讨

来源:金桂飘香网   时间: 2019-04-01

  导语:幂级数是高等数学课程中非常重要的知识点,而其中有关幂级数求和问题是这部分内容的重点和难点.以下是小编给大家整理的大学数学,欢迎大家参考!

  例1 求幂级数∑∞[]n=0xn[]n+1的和函数.

  解 先求收敛域.由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1.

  在端点x=-1处,幂级数成为∑∞[]n=0(-1)n[]n+1,是收敛的交错级数;

  在端点x=1处,幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1,是发散的.因此收敛域为I=[-1,1].

  设和函数为s(x),即

  s(x)=∑∞[]n=0xn[]n+1,x∈[-1,1).(1)

  于是

  xs(x)=∑∞[]n=0xn宝鸡医院癫痫病+1[]n+1.(2)

  利用性质3,逐项求导,并由

  1[]1-x=1+x+x2+…+xn+…,(-1 得

  [xs(x)]′=∑∞[]n=0xn+1[]n+1=∑∞[]n=0xn=1[]1-x,(|x|<1).(4)

  对上式从0到x积分,得

  xs(x)=∫x01[]1-xdx=-ln(1-x),(-1≤x≤1).(5)

  于是,当x≠0时,有s(x)=-1[]xln(1-x),

  而s(0)可由s(0)=a0=1得出,

  故

  s(x)=-1[]xln(1-x),x∈[-1,0)∪(0,1),

  1,x=0.(6)

  一、错误及原因分析

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  1.忽略幂级数的起始项

  例如在求解幂级数∑∞[]n=1xn的和函数时,有学生就很容易将其和函数写为s(x)=1[]1-x,而事实上其和应该为s(x)=x[]1-x.该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项,习惯性的把第一项默认为1.

  2.忽略和函数的定义域

  产生该错误的原因,主要是学生对和函数的概念理解不透彻.无穷多项求和其和并不总是存在的,即不总是收敛的,所以在求和函数时,首先要判断在哪些点处和是存在的,这些点的集合就是和函数的定义域,即幂级数的收敛域.

  3.错误地给出和函数的定义域,即幂级数的收敛域

  该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时,忽略了收敛域的变化.上述例子中的(5)式就出现了这方面的错误.

  4.忽略了收为什么会得癫痫病敛域中的特殊点

  在上述例子式中,利用(5)求s(x)时,需要在等式两边同时除以x.此时,当x≠0时,才有s(x)=-1[]xln(1-x),因此,对x=0还要单独求解s(0).

  二、求幂级数和函数时应注意的问题及应对措施

  1.标注和函数的定义域

  和函数的定义域不同于一般函数的定义域,其定义域事实上为与和函数相对应的幂级数的收敛域,因此在和函数表达式之后应正确标注x的取值范围,即和函数的定义域.为避免在这里出现错误,在求解和函数时,应首先求出所求幂级数的收敛域.严格按照先求收敛域再求和函数的步骤求解能很好地解决这一问题(参看教材[1]中例6).

  2.注意收敛域与级数的匹配

  利用和函数的分析性质求解和函数是解决幂级数求和的重要方法,尤其是教材[1]中的性质2癫痫病的最佳治疗方法和性质3,简称为逐项求积和逐项求导.但这两条性质都只说明变化后的级数其收敛半径不发生变化,未对收敛域的情况进行详细说明.事实上,逐项积分后所得幂级数的收敛域有可能扩大,即有可能把收敛区间的端点包含进来;逐项求导后所得幂级数的收敛域有可能缩小,即有可能把收敛域的端点去掉.应对这一问题,只需要在利用逐项求导和逐项求积时,对端点处的收敛性重新判断即可.

  3.注意等式变化过程中x的取值问题

  比如在(5)式中,求解s(x)时,需要在等式两边同时除以x.此时x不能取零,但x=0又是收敛域中的点,因此需单独求解s(0).对这一问题,需要在等式变化过程中,关注x的取值变化.对收敛域中不能取到的点x0,应单独求解s(x0).可用以下两种方法,方法一:求解x=x0时对应的常数项级数的和.方法二:利用和函数的连续性求解x=x0时对应的常数项级数的和.

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